195 лет назад выдающийся ученый, ректор Казанского университета, а на тот момент декан физико-математического факультета Николай Иванович Лобачевский представил свой доклад «Сжатое изложение начал геометрии». С этого момента история геометрии и почти всей науки начали новый путь. Революционная теория Лобачевского показа новые грани понимания и изучения мира. В честь 195-летия открытия Николаем Лобачевским неевклидовой геометрии мы расскажем вам не о её значимости для точных наук, а о том, как она повлияла на миропонимание и где неевклидовая геометрия проявляется в природе.
При упоминании словосочетания «неевклидовая геометрия» в разных кругах можно вызвать у ваших собеседников разные ассоциации. Кто-то сразу вспомнит Казанский университет и Лобачевского, кто-то знаменитую, фразу о том, что «параллельные прямые могут пересекаться», кто-то – о геометрии космоса, но большинство представит нечто сложное, о чем лучше не думать. Однако неевклидовая геометрия играет в нашей жизни огромное значение. И многие даже не подозревают об этом.
Чтобы представить себе как же выглядит неевклидовая геометрия, стоит обраться к рисункам Маурица Корнелиса Эшера – нидерландского художника, который изображал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов. Картины Эшера – это наглядный пример визуализации неевклидовой геометрии. Но они могут быть сложны для восприятия. Более простой пример – это геометрические фигуры, сделанные немецкими учеными в конце XIX в. из гипса. Фигуры использовали как учебные пособия. Они наглядно демонстрировали неевклидовое пространство, строящееся из конкретных функций и формул.
Сложно представить, что столь замысловатые фигуры и образы как-то могут помочь расширить наше миропонимание. Но все гораздо проще, чем кажется. Неевклидовая геометрия служит наглядным примером множества уникальных и удивительных явлений.
Например, еще древнегреческий философ Зенон в своем парадоксальном рассуждении об Ахиллесе и черепахе предугадал неевклидовую геометрию. Быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса. «Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху». Математическая реализация этого — цепная дробь, которая устроена так: у вас есть числитель, скажем единица, а в знаменателе стоит единица плюс, дальше дробь опять единица поделить на единицу плюс, и так до бесконечности.
Но где же в природе мы можем увидеть подлинное проявление неевклидовой геометрии? Давайте вспомним, как выглядит лист салата или капусты. Если его положить на стол, то вы никогда не сможете уложить его плоско. Если вы попытаетесь его разгладить на плоскости, у вас ничего не получится — он все время будет топорщиться. Это происходит из-за того, что клетки, которые находятся на периферии, на границе листа, растут так, что их рост ничем не ограничен. Они не знают, что они должны расти в плоскости. Как у нас растет периметр круга? С удалением от центра он растет пропорционально радиусу. Клетки об этом не знают, они делятся так, как они хотят и в результате «закругляют» плоский лист и делают на нем складки. Конфликт между внутренней топологией и внутренней геометрией, растущей структурой и тем пространством, куда она вложена, является как раз этим фактором, который формирует систему складок и то, что мы видим, когда пытаемся лист салата расправить на плоскости. Возникающие структуры называются ультраметрическими. Они имеют некоторые свойства, которые отличают их от того, что мы имеем в повседневной жизни.
Интересным проявлением неевклидовой геометрии, а точнее ультраметрики, которая с ней связанна, являются спирали на шишках. Если вы сосчитаете количество спиралей на шишке, окажется, что оно всегда одно из чисел Фибоначчи. Числа Фибоначчи – это элементы условной последовательности, в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Удивительным образом природа устроена так, что количество спиралей на шишке — это всегда одно из чисел Фибоначчи.
Неевклидовая геометрия проявляется не только в наглядных явлениях. Геометрия, созданная Лобачевским, работает на поверхностях с отрицательной кривизной. И именно такую кривизну имеют графики интенсивности всех электромагнитных полей!
Наглядно геометрию Лобачевского можно устроить и на бумаге. Если нарисовать окружность, то мы можем, не выходя за её пределы, провести сколько угодно прямых, не пересекающих данную. Взяв сферу, можно построить стереометрическую модель. Такая модель называется моделью Кляйна. Все эти модели служат одной цели – полнее представить наш мир, не прибегая к вселенским масштабам.
И это лишь малая часть примеров неевклидовой геометрии вокруг нас. Более того, открытие Николая Ивановича оказало влияние не только на ученых, но и на писателей. И подробнее узнать об этом, вы можете, прослушав подкаст Музея истории Казанского университета
Автор А.И. Казаков
